これで理解できるモンティ・ホール問題

確率パズルの「モンティ・ホール問題」は非常に面白いパズルです。

少し考えてください。

「３つのドアA、B、Cがありそのうちの１つのドアの向こう側に新車が一台がある。
残りの２つのドアの向こうには何もない。あなたはドアの名前を１つ宣言し、
宣言したドアの向こうに新車があればその新車がもらえるとする。
次に司会者は残った２つのドアのうち１つのドアを開ける。
このドアの向こうには何もない（司会者は何もないドアを必ず選ぶ）。
司会者はそこであなたが宣言したドアを、
残った２つのドアのうち司会者が開けなかったドアに変えることができるとあなたに提案する。
はたしてドアは変える方がいいのか、変えない方がいいのか。」

ここで最初にあなたが宣言したドアをA、司会者が開けたドアをBとしましょう。

そうすると新車があるのはAまたはCということになり、確率は１/2ずつだから
変えなくても変えてもどちらでも同じではないか、と思うでしょう。

しかし、実は変えた方がいいのです。

なぜか。

最初の宣言時にAに新車がある確率は１/3。これに異論はないでしょう。

では次に司会者がBを開けた瞬間、Aの確率は１/2に増えたというのか。
これはおかしい。

なぜなら司会者はあなたの宣言にかかわらず、
必ず何もないドアを開けてみせることができるからです。

つまり司会者がBを開けてもAの確率は依然として１/3のままなわけです。
では残りの確率２/３はどこにいったのかというと当然Cになります。

ということでCに変えた方が２倍も確率があがるわけです。

理解できたでしょうか。

こう考えてもOKです。

もしAが新車のドアだった場合、ドアを変えない方がいいわけですから
変えなくて新車がもらえる確率は新車のドアを最初に選ぶ確率１/３に対応します。

もしCが新車のドアだった場合、ドアを変えた方がいいわけですから
変えて新車がもらえる確率ははずれのドアを最初に選ぶ確率２/３に対応します。

これでもダメでしょうか。

ではドアが１億個ある場合を考えてみましょう。
ルールは同じで、新車のドアは一つで司会者は9999万9998個のドアを開けます。

これでもあなたはドアを変えませんか。

上と同様に考えて、最初の宣言したドアに新車がある確率は１/１億です。
それに対して、司会者が残したあなたが宣言していない方のドアの確率は9999万9999/１億です。

１億の中から最初の宣言時に新車のドアが選べるはずはないでしょう、ということです。

かくいう私も最初かなり理解に苦しみましたが。。

思考の遊びをしてみてください。

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タグ：数学